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设{(an,bn)}是一个严格开区间套,即满足a1<a2<…an<bn<b2<b1且(bn-an)=0.证明:存在唯一的一点ξ.使得an<ξ<bn,n=1,2,….
设{(an,bn)}是一个严格开区间套,即满足a1<a2<…an<bn<b2<b1且(bn-an)=0.证明:存在唯一的一点ξ.使得an<ξ<bn,n=1,2,….
admin
2022-11-23
39
问题
设{(a
n
,b
n
)}是一个严格开区间套,即满足a
1
<a
2
<…a
n
<b
n
<b
2
<b
1
且
(b
n
-a
n
)=0.证明:存在唯一的一点ξ.使得a
n
<ξ<b
n
,n=1,2,….
选项
答案
证法一 作闭区间列{[x
n
,y
n
]},其中[*],n=1,2.….由于a
n
<x
n
<a
n+1
,b
n+1
<y
n
<b
n
([*]n∈N),从而有 (1)(a
n+1
,b
n+1
)[*][x
n
,y
n
][*](a
n
,b
n
)([*]n∈N),故[x
n+1
,y
n+1
][*][x
n
,y
n
],n=1,2,…. (2)0<y
n
-x
n
<b
n
-a
n
([*]n∈N). 从而由[*].所以{[x
n
,y
n
]}为闭区间套.由区间套定理知,存在唯一的实数ξ∈[x
n
,y
n
](n=1.2.…).由(1)知,存在唯一的ξ满足a
n
<ξ<b
n
,n=1,2.…. 证法二 由题设知,{[a
n
,b
n
])是一个闭区间套.由区间套定理知,存在唯一的点ξ,使得a
n
≤ξ≤b
n
,n=1,2,….又因a
n-1
<a
n
<b
n
<b
n-1
,所以a
n-1
<ξ<b
n-1
,n=2,3,…,即a
n
<ξ<b
n
,n=1,2,….
解析
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考研数学一
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