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  3. 设{(an，bn)}是一个严格开区间套，即满足a1＜a2＜…an＜bn＜b2＜b1且(bn-an)=0．证明：存在唯一的一点ξ．使得an＜ξ＜bn，n=1，2，…．

设{(an，bn)}是一个严格开区间套，即满足a1＜a2＜…an＜bn＜b2＜b1且(bn-an)=0．证明：存在唯一的一点ξ．使得an＜ξ＜bn，n=1，2，…．

admin2022-11-23  23
问题 设{(an，bn)}是一个严格开区间套，即满足a1＜a2＜…an＜bn＜b2＜b1且(bn-an)=0．证明：存在唯一的一点ξ．使得an＜ξ＜bn，n=1，2，…．
选项
答案证法一 作闭区间列{[xn，yn]}，其中[*]，n=1，2．…．由于an＜xn＜an+1，bn+1＜yn＜bn([*]n∈N)，从而有 (1)(an+1，bn+1)[*][xn，yn][*](an，bn)([*]n∈N)，故[xn+1，yn+1][*][xn，yn]，n=1，2，…． (2)0＜yn-xn＜bn-an([*]n∈N)． 从而由[*]．所以{[xn，yn]}为闭区间套．由区间套定理知，存在唯一的实数ξ∈[xn，yn](n=1．2．…)．由(1)知，存在唯一的ξ满足an＜ξ＜bn，n=1，2．…． 证法二 由题设知，{[an，bn])是一个闭区间套．由区间套定理知，存在唯一的点ξ，使得an≤ξ≤bn，n=1，2，…．又因an-1＜an＜bn＜bn-1，所以an-1＜ξ＜bn-1，n=2，3，…，即an＜ξ＜bn，n=1，2，…．
解析
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考研数学一

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