2. 考研
  3. (1)设D=((x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d}，若f"xy与f"yx在D上连续，证明： (2)设D为xOy平面上的区域，若f"xy与f"yx都在D上连续，证明：f"xy与f"yx在D上相等．

(1)设D=((x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d}，若f"xy与f"yx在D上连续，证明： (2)设D为xOy平面上的区域，若f"xy与f"yx都在D上连续，证明：f"xy与f"yx在D上相等．

admin2018-08-12  44
问题 (1)设D=((x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d}，若f"xy与f"yx在D上连续，证明：
   
    (2)设D为xOy平面上的区域，若f"xy与f"yx都在D上连续，证明：f"xy与f"yx在D上相等．
选项
答案(1)[*]f"xy(x，y)dxdy=∫abdx∫cdf’xy(x，y)=∫abf’x(x，y)∫cddx =∫ab[f’x(x，d)一f’x(x，c)]dx =f(x，d)｜ab—f(x，c)｜ab =f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)． 同理， [*]f"yx(x，y)dxdy=∫cddy∫abf"yx(x，y)dx=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)． 结论成立． (2)用反证法． 设存在P0(x0，y0)∈D，有f"xy(x0，y0)≠f"yx(x0，y0)． 不妨设f"xy(x0，y0)一f"yx(x0，y0)＞0，由于 [*][f"xy(x，y)一f"yx(x，y)]=f"xy(x0，y0)一f"yx(x0，y0)＞0． 由极限的保号性，[*]ε0＞0，δ＞0，当P(x，y)∈U(P0，δ)时有 f"xy(x，y)一f"yx(x，y)＞ε0． [*] 由(1)有，[*][f"xy(x，y)一f"yx(x，y)]dxdy=0，这与上述结论矛盾，故f"xy(x，y)与f"yx(x，y)在D上相等．
解析
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考研数学二

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