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(1)设D=((x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d}，若f"xy与f"yx在D上连续，证明： (2)设D为xOy平面上的区域，若f"xy与f"yx都在D上连续，证明：f"xy与f"yx在D上相等．
(1)设D=((x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d}，若f"xy与f"yx在D上连续，证明： (2)设D为xOy平面上的区域，若f"xy与f"yx都在D上连续，证明：f"xy与f"yx在D上相等．
admin
2018-08-12
96
问题
(1)设D=((x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d}，若f"
xy
与f"
yx
在D上连续，证明：
(2)设D为xOy平面上的区域，若f"
xy
与f"
yx
都在D上连续，证明：f"
xy
与f"
yx
在D上相等．
选项
答案
(1)[*]f"
xy
(x，y)dxdy=∫
a
b
dx∫
c
d
f’
xy
(x，y)=∫
a
b
f’
x
(x，y)∫
c
d
dx =∫
a
b
[f’
x
(x，d)一f’
x
(x，c)]dx =f(x，d)｜
a
b
—f(x，c)｜
a
b
=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)． 同理， [*]f"
yx
(x，y)dxdy=∫
c
d
dy∫
a
b
f"
yx
(x，y)dx=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)． 结论成立． (2)用反证法． 设存在P
0
(x
0
，y
0
)∈D，有f"
xy
(x
0
，y
0
)≠f"
yx
(x
0
，y
0
)． 不妨设f"
xy
(x
0
，y
0
)一f"
yx
(x
0
，y
0
)＞0，由于 [*][f"
xy
(x，y)一f"
yx
(x，y)]=f"
xy
(x
0
，y
0
)一f"
yx
(x
0
，y
0
)＞0． 由极限的保号性，[*]ε
0
＞0，δ＞0，当P(x，y)∈U(P
0
，δ)时有 f"
xy
(x，y)一f"
yx
(x，y)＞ε
0
． [*] 由(1)有，[*][f"
xy
(x，y)一f"
yx
(x，y)]dxdy=0，这与上述结论矛盾，故f"
xy
(x，y)与f"
yx
(x，y)在D上相等．
解析
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考研数学二
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