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设函数f(x)具有二阶连续导数,且f(0)=0,f’(0)=-1,已知曲线积分与路径无关,则f(x)=________.
设函数f(x)具有二阶连续导数,且f(0)=0,f’(0)=-1,已知曲线积分与路径无关,则f(x)=________.
admin
2019-08-27
34
问题
设函数f(x)具有二阶连续导数,且f(0)=0,f’(0)=-1,已知曲线积分
与路径无关,则f(x)=________.
选项
答案
[*]
解析
【思路探索】由曲线积分与路径无关的充要条件可以得到f(x)所满足的微分方程,再根据所给的初始条件求出f(x).
曲线积分与路径无关
,故有
即
消去cos y,整理得f’’-5f’+6f=xe
2x
,
对应齐次方程的特征方程为r
2
-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
对应齐次方程的通解为
,
由于λ=2是特征根,故设f=x(Ax+B)e
2x
,代入方程可求出A=-1/2,B=-1,于是方程的通解为
再由f(0)=0及f’(0)=-1,可求出C
1
=C
2
=0,
因而所求函数为f(x)=-1/2x(x+2)e
2x
.
故应填
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考研数学一
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