已知3阶矩阵A的特征值为1，－1，2，又B＝A3－5A2，则｜B＋4E｜＝_______．

admin2019-01-12 29

问题已知3阶矩阵A的特征值为1，－1，2，又B＝A³－5A²，则｜B＋4E｜＝_______．

选项

答案0

解析设矩阵A的特征值是λ，容易导出，矩阵B＝A³－5A²的特征值为λ³－5λ²．由于A的特征值为1，－1，2，则矩阵B的特征值分别是
1³－5×1²＝－4， (－1)³－5×(－1)²＝－6，2³－5×2²＝－12．
同样，设矩阵B的特征值为μ，则矩阵B＋4E的特征值为μ＋4．于是，矩阵B＋4E的特征值分别为0，－2，－8．因为矩阵B＋4E有3个相异的特征值，故存在可逆矩阵P，使得
P^-1(B＋4E)P＝

所以｜B＋4E｜＝0×(－2)×(－8)＝0．

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考研数学一

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