已知3阶矩阵A的特征值为1,-1,2,又B=A3-5A2,则|B+4E|=_______.

admin2019-01-12  24

问题 已知3阶矩阵A的特征值为1,-1,2,又B=A3-5A2,则|B+4E|=_______.

选项

答案0

解析 设矩阵A的特征值是λ,容易导出,矩阵B=A3-5A2的特征值为λ3-5λ2.由于A的特征值为1,-1,2,则矩阵B的特征值分别是
    13-5×12=-4,  (-1)3-5×(-1)2=-6,23-5×22=-12.
    同样,设矩阵B的特征值为μ,则矩阵B+4E的特征值为μ+4.于是,矩阵B+4E的特征值分别为0,-2,-8.因为矩阵B+4E有3个相异的特征值,故存在可逆矩阵P,使得
    P-1(B+4E)P=
    所以|B+4E|=0×(-2)×(-8)=0.
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