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设二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3，a为正整数。 (1)若f(x1，x2，x3)是正定二次型，求a的值； (2)求正交变换x=Qy，使二次型f(x1，x2，x3)化为标准形
设二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3，a为正整数。 (1)若f(x1，x2，x3)是正定二次型，求a的值； (2)求正交变换x=Qy，使二次型f(x1，x2，x3)化为标准形
admin
2021-04-16
143
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
+2x
2
2
+2x
3
2
+2ax
1
x
2
+2ax
1
x
3
+2ax
2
x
3
，a为正整数。
(1)若f(x
1
，x
2
，x
3
)是正定二次型，求a的值；
(2)求正交变换x=Qy，使二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形，并写出Q。
选项
答案
(1)f(x
1
，x
2
，x
3
)的二次型矩阵为A=[*]，故由｜λE-A｜=[*]=(λ-2-2a)(λ-2+a)
2
=0，有A的特征值为λ
1
=2+2a，λ
2
=λ
3
=2-a，由A正定，有2+2a＞0，2-a＞0，即-1＜a＜2，又a为正整数，故a=1。 (2)由(1)，λ
1
=4，λ
2
=λ
3
=1。 当λ
1
=4时，[*] 得基础解系为γ
1
=(1，1，1)
T
，当λ
2
=λ
3
=1时，[*] 得基础解系为ξ
1
=(-1，1，0)
T
，ξ
2
=(-1，0，1)
T
。 将ξ
1
，ξ
2
正交化，取γ
1
=ξ
1
=(-1，1，0)
T
，γ
2
=ξ
2
-(ξ
2
，γ
2
)γ
2
／(γ
2
，γ
2
) =(-1，0，1)
T
-(1／2)(-1，1，0)
T
=(-1／2，-1／2，1)
T
。 再将γ
1
，γ
2
，γ
3
单位化： [*] 令Q=(η
1
，η
2
，η
3
)=[*]，则在x=Qy下化为4y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/hpx4777K
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考研数学三
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