2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3，a为正整数。 (1)若f(x1，x2，x3)是正定二次型，求a的值； (2)求正交变换x=Qy，使二次型f(x1，x2，x3)化为标准形

设二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3，a为正整数。 (1)若f(x1，x2，x3)是正定二次型，求a的值； (2)求正交变换x=Qy，使二次型f(x1，x2，x3)化为标准形

admin2021-04-16  137
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3，a为正整数。
    (1)若f(x1，x2，x3)是正定二次型，求a的值；
    (2)求正交变换x=Qy，使二次型f(x1，x2，x3)化为标准形，并写出Q。
选项
答案(1)f(x1，x2，x3)的二次型矩阵为A=[*]，故由｜λE-A｜=[*]=(λ-2-2a)(λ-2+a)2=0，有A的特征值为λ1=2+2a，λ2=λ3=2-a，由A正定，有2+2a＞0，2-a＞0，即-1＜a＜2，又a为正整数，故a=1。 (2)由(1)，λ1=4，λ2=λ3=1。 当λ1=4时，[*] 得基础解系为γ1=(1，1，1)T，当λ2=λ3=1时，[*] 得基础解系为ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-1，0，1)T。 将ξ1，ξ2正交化，取γ1=ξ1=(-1，1，0)T，γ2=ξ2-(ξ2，γ2)γ2／(γ2，γ2) =(-1，0，1)T-(1／2)(-1，1，0)T =(-1／2，-1／2，1)T。 再将γ1，γ2，γ3单位化： [*] 令Q=(η1，η2，η3)=[*]，则在x=Qy下化为4y12+y22+y32。
解析
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考研数学三

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