设二次型F(x1,x2,x3)=xTAx=ax21+6x22+3x23-4x1x2-8x1x3-4x2x3,其中-2是二次型矩阵A的一个特征值。 (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换。

admin2019-07-10  46

问题 设二次型F(x1,x2,x3)=xTAx=ax21+6x22+3x23-4x1x2-8x1x3-4x2x3,其中-2是二次型矩阵A的一个特征值。
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换。

选项

答案(Ⅰ)题干所给二次型f对应的矩阵[*],已知λ=-2是A的特征值,因此有 [*] 得到a=3。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 [*] 可得矩阵A的特征值是λ1=λ2=7,λ3=-2。 对于λ=7,齐次方程组(7E-A)x=0的基础解系为 [*] 对于λ=-2,齐次方程组(-2E-A)x=0的基础解系为[*] 因为α1,α2不正交,故需正交化,有 [*] 再单位化,得 [*] 那么令[*],则在正交变换X=Qy下,有 xTAx=yTΛy=7y21+7y22-2y23

解析 本题考查二次型的标准化及正定矩阵的判断。先根据-2是一个特征值求出a的值,然后代入求二次型矩阵,并求特征值和特征向量,利用施密特正交化方法得正交矩阵,求出标准形和所用的正交变换。
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