设二次型F(x1，x2，x3)＝xTAx＝ax21＋6x22＋3x23－4x1x2－8x1x3－4x2x3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

admin2019-07-10 104

问题设二次型F(x₁，x₂，x₃)＝x^TAx＝ax²₁＋6x²₂＋3x²₃－4x₁x₂－8x₁x₃－4x₂x₃，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

选项

答案(Ⅰ)题干所给二次型f对应的矩阵[*]，已知λ＝－2是A的特征值，因此有 [*] 得到a＝3。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 [*] 可得矩阵A的特征值是λ₁＝λ₂＝7，λ₃＝－2。对于λ＝7，齐次方程组(7E－A)x＝0的基础解系为 [*] 对于λ＝－2，齐次方程组(－2E－A)x＝0的基础解系为[*] 因为α₁，α₂不正交，故需正交化，有 [*] 再单位化，得 [*] 那么令[*]，则在正交变换X＝Qy下，有 x^TAx＝y^TΛy＝7y²₁＋7y²₂－2y²₃。

解析本题考查二次型的标准化及正定矩阵的判断。先根据－2是一个特征值求出a的值，然后代入求二次型矩阵，并求特征值和特征向量，利用施密特正交化方法得正交矩阵，求出标准形和所用的正交变换。

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考研数学三

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