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设二次型F(x1,x2,x3)=xTAx=ax21+6x22+3x23-4x1x2-8x1x3-4x2x3,其中-2是二次型矩阵A的一个特征值。 (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换。
设二次型F(x1,x2,x3)=xTAx=ax21+6x22+3x23-4x1x2-8x1x3-4x2x3,其中-2是二次型矩阵A的一个特征值。 (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换。
admin
2019-07-10
67
问题
设二次型F(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax=ax
2
1
+6x
2
2
+3x
2
3
-4x
1
x
2
-8x
1
x
3
-4x
2
x
3
,其中-2是二次型矩阵A的一个特征值。
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换。
选项
答案
(Ⅰ)题干所给二次型f对应的矩阵[*],已知λ=-2是A的特征值,因此有 [*] 得到a=3。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 [*] 可得矩阵A的特征值是λ
1
=λ
2
=7,λ
3
=-2。 对于λ=7,齐次方程组(7E-A)x=0的基础解系为 [*] 对于λ=-2,齐次方程组(-2E-A)x=0的基础解系为[*] 因为α
1
,α
2
不正交,故需正交化,有 [*] 再单位化,得 [*] 那么令[*],则在正交变换X=Qy下,有 x
T
Ax=y
T
Λy=7y
2
1
+7y
2
2
-2y
2
3
。
解析
本题考查二次型的标准化及正定矩阵的判断。先根据-2是一个特征值求出a的值,然后代入求二次型矩阵,并求特征值和特征向量,利用施密特正交化方法得正交矩阵,求出标准形和所用的正交变换。
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考研数学三
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