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设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且=0,又f(2)=2f(x)dx,证明:存在ξ∈(0,2),使得f’(ξ)+f"(ξ)=0。
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且=0,又f(2)=2f(x)dx,证明:存在ξ∈(0,2),使得f’(ξ)+f"(ξ)=0。
admin
2019-07-10
102
问题
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且
=0,又f(2)=2
f(x)dx,证明:存在ξ∈(0,2),使得f’(ξ)+f"(ξ)=0。
选项
答案
根据[*]=0,可得f(1)=-1,又 [*] 所以f’(1)=0。由积分中值定理知。存在一点c∈[*],使得 [*] 于是根据罗尔定理,存在x
0
∈(c,2)[*](1,2),使得f’(x
0
)=0。 令φ(x)=e
x
f’(x),则φ(1)=φ(x
0
)=0,再一次根据罗尔定理,存在ξ∈(1,x
0
)[*](0,2),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=e
x
[f’(x)+f"(x)]且e
x
≠0,所以有 f’(ξ)+f"(ξ)=0。
解析
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考研数学三
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