2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=2f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f"(ξ)=0。

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=2f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f"(ξ)=0。

admin2019-07-10  59
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=2f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f"(ξ)=0。
选项
答案根据[*]=0，可得f(1)=－1，又 [*] 所以f’(1)=0。由积分中值定理知。存在一点c∈[*]，使得 [*] 于是根据罗尔定理，存在x0∈(c，2)[*](1，2)，使得f’(x0)=0。 令φ(x)=exf’(x)，则φ(1)=φ(x0)=0，再一次根据罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)[*](0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f"(x)]且ex≠0，所以有 f’(ξ)+f"(ξ)=0。
解析
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考研数学三

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