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设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量;
设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量;
admin
2019-07-23
40
问题
设n阶矩阵
求A的特征值和特征向量;
选项
答案
[*] 令f(x)=x+1—b,则f(B)=B+(1—b)E.如能求出B的特征值,则f(B)=B+(1—b)E的特征值即可求出.事实上,因秩(B)=1,知,B的特征值为λ
1
=b+b+…+b=nb,λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=0,故f(B)即A=B+(1—b)E的特征值为 f(λ
1
)=nb+1—b=(n一1)b+1, f(λ
2
)=f(λ
3
)=…=f(λ
n
)=0+1—b=1—b. 下面求A的特征向量.首先求属于特征值λ
1
=1+(n一1)b的A的特征向量,可知,α
1
=[1,1,…,1]
T
为属于特征值λ
1
=1+(n一1)b的A的特征向量,所以A的属于λ
1
的全部特征向量为kα
1
(k为任意非零的常数). 再求A的属于特征值λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=1—6的特征向量.为此,求出(λ
2
E—A)X=0的基础解系.当b≠0时,对λ
2
E—A施以初等行变换,得到 λ
2
E—A=[*] 因而所求的基础解系为 α
2
=[一1,1,0,…,0]
T
,α
3
=[一1,0,1,0,…,0]
T
,…,α
n
=[一1,0,…,0,1]
T
. 故A的属于λ
2
的所有特征向量为 k
2
α
2
+k
3
α
3
+…+k
n
α
n
(k
2
,k
3
,…,k
n
是不全为零的常数). 当b=0时,A的特征值为λ
1
=λ
2
=…=λ
n
=1,任意非零列向量均为特征向量.因为这时A=E,对任意α≠0,有Aα=Eα一α=1·α.
解析
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考研数学一
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