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  3. 设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量；

设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量；

admin2019-07-23  37
问题 设n阶矩阵
求A的特征值和特征向量；
选项
答案[*] 令f(x)=x+1—b，则f(B)=B+(1—b)E．如能求出B的特征值，则f(B)=B+(1—b)E的特征值即可求出．事实上，因秩（B）=1，知，B的特征值为λ1=b+b+…+b=nb，λ2=λ3=…=λn=0，故f（B）即A=B+(1—b)E的特征值为 f(λ1)=nb+1—b=(n一1)b+1， f(λ2)=f(λ3)=…=f(λn)=0+1—b=1—b． 下面求A的特征向量．首先求属于特征值λ1=1+(n一1)b的A的特征向量，可知，α1=[1，1，…，1]T为属于特征值λ1=1+(n一1)b的A的特征向量，所以A的属于λ1的全部特征向量为kα1(k为任意非零的常数)． 再求A的属于特征值λ2=λ3=…=λn=1—6的特征向量．为此，求出(λ2E—A)X=0的基础解系．当b≠0时，对λ2E—A施以初等行变换，得到 λ2E—A=[*] 因而所求的基础解系为 α2=[一1，1，0，…，0]T，α3=[一1，0，1，0，…，0]T，…，αn=[一1，0，…，0，1]T． 故A的属于λ2的所有特征向量为 k2α2+k3α3+…+knαn (k2，k3，…，kn是不全为零的常数)． 当b=0时，A的特征值为λ1=λ2=…=λn=1，任意非零列向量均为特征向量．因为这时A=E，对任意α≠0，有Aα=Eα一α=1·α．
解析
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考研数学一

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