2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3。 (I)证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关； (Ⅱ)如果A3β=Aβ，求秩r(A—E)及行列式｜A+2E｜。

设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3。 (I)证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关； (Ⅱ)如果A3β=Aβ，求秩r(A—E)及行列式｜A+2E｜。

admin2020-05-16  48
问题 设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3。
(I)证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关；
(Ⅱ)如果A3β=Aβ，求秩r(A—E)及行列式｜A+2E｜。
选项
答案(I)设k1，k2，k3，是实数，满足k1β+k2Aβ+k3A2β=0，根据已知有Aαi=λiαi，(i=1，2，3)，所以Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，A2β=λ12α1+λ22α2+λ32α3，将上述结果代入k1β+k2Aβ+k3A2β=0可得(k1+k2λ1+k3λ12)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ32)α3=0。 α1,α2,α3是三个不同特征值对应的特征向量，则三个向量必定线性无关，因此[*]由于该线性方程组的系数矩阵的行列式[*]，因此k1=k2=k3=0，故β，Aβ，A2β线性无关。(H)根据A3β=Aβ可得[*] 令P=(β，Aβ，A2β)，则矩阵P是可逆的，[*]，根据相似矩阵的秩及行列式相等，有[*]
解析
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考研数学三

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