2. 考研
  3. 设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x)，则f(n)(x)=___________．

设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x)，则f(n)(x)=___________．

admin2019-03-12  45
问题 设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x)，则f(n)(x)=___________．
选项
答案(2n一1)!!f2n+1(x)
解析 用归纳法．由f’(x)=f3(x)=1．f3(x)求导得
    f"(x)=1．3f2(x)f’(x)=1．3f5(x)，再求导又得
    f"’(x)=1．3．5f4(x)f’(x)=1．3．5f7(x)，由此可猜想
    f(n)(x)=1．3…(2n一1)f2n+1(x)=(2n一1)!f2n+1(x)(n=1，2，3，…)．
设n=k上述公式成立，则有
    f(k+1)(x)=[f(k)(x)]’=[(2k一1)!!f2k+1(x)]’
    =(2k一1)!!(2k+1)f2k(x)f’(x)=(2k+1)!!f2k+3(x)，
由上述讨论可知当n=1，2，3，…时
    f(n)(x)=(2n一1)!!f2n+1(x)成立．
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考研数学三

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