设y＝f(x)是[0，∞)上单调增加的连续函数，f(0)＝0，记它的反函数为x＝f﹣1(y)，a>0，b﹥0，令I＝∫0af(x)dx+∫0bf﹣1(y)dy，则( )

admin2020-02-28 64

问题设y＝f(x)是[0，∞)上单调增加的连续函数，f(0)＝0，记它的反函数为x＝f^﹣1(y)，a>0，b﹥0，令I＝∫₀^af(x)dx+∫₀^bf^﹣1(y)dy，则( )

选项 A、I﹤ab
B、I≤ab
C、I﹥ab
D、I≥ab

答案D

解析令F(a)＝∫₀^af(x)dx＋∫₀^bf^﹣1(y)dy－ab，则F^’(a)＝f(a)－b。
设f(T)＝b，则当0﹤a﹤T时，F(a)单调减少；当a﹥T时，F(a)单调增加，故F(a)在a＝T处取最小值，
F(T)＝∫₀^Tf(x)dx＋∫₀^bf^﹣1(y)dy－bT
＝∫₀^Tf(x)dx＋∫₀^Txdf(x)－Tf(T)
＝0，
所以F(a)≥0，即∫₀^af(x)dx＋∫₀^bf^﹣1(y)dy≥ab。

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