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设y=f(x)是[0,∞)上单调增加的连续函数,f(0)=0,记它的反函数为x=f﹣1(y),a>0,b﹥0,令I=∫0af(x)dx+∫0bf﹣1(y)dy,则( )
设y=f(x)是[0,∞)上单调增加的连续函数,f(0)=0,记它的反函数为x=f﹣1(y),a>0,b﹥0,令I=∫0af(x)dx+∫0bf﹣1(y)dy,则( )
admin
2020-02-28
57
问题
设y=f(x)是[0,∞)上单调增加的连续函数,f(0)=0,记它的反函数为x=f
﹣1
(y),a>0,b﹥0,令I=∫
0
a
f(x)dx+∫
0
b
f
﹣1
(y)dy,则( )
选项
A、I﹤ab
B、I≤ab
C、I﹥ab
D、I≥ab
答案
D
解析
令F(a)=∫
0
a
f(x)dx+∫
0
b
f
﹣1
(y)dy-ab,则F
’
(a)=f(a)-b。
设f(T)=b,则当0﹤a﹤T时,F(a)单调减少;当a﹥T时,F(a)单调增加,故F(a)在a=T处取最小值,
F(T)=∫
0
T
f(x)dx+∫
0
b
f
﹣1
(y)dy-bT
=∫
0
T
f(x)dx+∫
0
T
xdf(x)-Tf(T)
=0,
所以F(a)≥0,即∫
0
a
f(x)dx+∫
0
b
f
﹣1
(y)dy≥ab。
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考研数学二
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