2. 考研
  3. 设y＝f(x)是[0，∞)上单调增加的连续函数，f(0)＝0，记它的反函数为x＝f﹣1(y)，a>0，b﹥0，令I＝∫0af(x)dx+∫0bf﹣1(y)dy，则( )

设y＝f(x)是[0，∞)上单调增加的连续函数，f(0)＝0，记它的反函数为x＝f﹣1(y)，a>0，b﹥0，令I＝∫0af(x)dx+∫0bf﹣1(y)dy，则( )

admin2020-02-28  50
问题 设y＝f(x)是[0，∞)上单调增加的连续函数，f(0)＝0，记它的反函数为x＝f﹣1(y)，a>0，b﹥0，令I＝∫0af(x)dx+∫0bf﹣1(y)dy，则(     )
选项 A、I﹤ab
B、I≤ab
C、I﹥ab
D、I≥ab
答案D
解析 令F(a)＝∫0af(x)dx＋∫0bf﹣1(y)dy－ab，则F’(a)＝f(a)－b。
设f(T)＝b，则当0﹤a﹤T时，F(a)单调减少；当a﹥T时，F(a)单调增加，故F(a)在a＝T处取最小值，
F(T)＝∫0Tf(x)dx＋∫0bf﹣1(y)dy－bT
  ＝∫0Tf(x)dx＋∫0Txdf(x)－Tf(T)
  ＝0，
所以F(a)≥0，即∫0af(x)dx＋∫0bf﹣1(y)dy≥ab。
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考研数学二

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