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  3. 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=f(x，1)=0，=a，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=。

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=f(x，1)=0，=a，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=。

admin2018-12-29  49
问题 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=f(x，1)=0，=a，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=。
选项
答案将二重积分[*]转化为累次积分可得 [*] 首先考虑∫01xyfxy(x，y)dx，注意这里是把变量y看作常数，故有 ∫01xyfxy(x，y)dx=y∫01xdfy(x，y)=xyfy(x，y)｜01—∫01yfy(x，y)dx=yfy(1，y)—∫01yfy(x，y)dx。 由f(1，y)=f(x，1)=0易知fy(1，y)=fx(x，1)=0。故 ∫01xyfxy(x，y)dx= —∫01yfy(x，y)dx， [*] 对该积分交换积分次序可得—∫01dy∫01yfy(x，y)dx= —∫01dx∫01yfy(x，y)dy。 再考虑积分∫01yfy(x，y)dy，注意这里是把变量x看作常数，故有 [*]
解析
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考研数学一

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