已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=f(x，1)=0，=a，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=。

admin2018-12-29 56

问题已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=f(x，1)=0，

=a，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=

。

选项

答案将二重积分[*]转化为累次积分可得 [*] 首先考虑∫₀¹xyf_xy(x，y)dx，注意这里是把变量y看作常数，故有 ∫₀¹xyf_xy(x，y)dx=y∫₀¹xdf_y(x，y)=xyf_y(x，y)｜₀¹—∫₀¹yf_y(x，y)dx=yf_y(1，y)—∫₀¹yf_y(x，y)dx。由f(1，y)=f(x，1)=0易知f_y(1，y)=f_x(x，1)=0。故 ∫₀¹xyf_xy(x，y)dx= —∫₀¹yf_y(x，y)dx， [*] 对该积分交换积分次序可得—∫₀¹dy∫₀¹yf_y(x，y)dx= —∫₀¹dx∫₀¹yf_y(x，y)dy。再考虑积分∫₀¹yf_y(x，y)dy，注意这里是把变量x看作常数，故有 [*]

解析

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考研数学一

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