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已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=f(x,1)=0,=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=。
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=f(x,1)=0,=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=。
admin
2018-12-29
80
问题
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=f(x,1)=0,
=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=
。
选项
答案
将二重积分[*]转化为累次积分可得 [*] 首先考虑∫
0
1
xyf
xy
(x,y)dx,注意这里是把变量y看作常数,故有 ∫
0
1
xyf
xy
(x,y)dx=y∫
0
1
xdf
y
(x,y)=xyf
y
(x,y)|
0
1
—∫
0
1
yf
y
(x,y)dx=yf
y
(1,y)—∫
0
1
yf
y
(x,y)dx。 由f(1,y)=f(x,1)=0易知f
y
(1,y)=f
x
(x,1)=0。故 ∫
0
1
xyf
xy
(x,y)dx= —∫
0
1
yf
y
(x,y)dx, [*] 对该积分交换积分次序可得—∫
0
1
dy∫
0
1
yf
y
(x,y)dx= —∫
0
1
dx∫
0
1
yf
y
(x,y)dy。 再考虑积分∫
0
1
yf
y
(x,y)dy,注意这里是把变量x看作常数,故有 [*]
解析
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0
考研数学一
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