下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )

admin2019-08-12 38

问题下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )

选项 A、

B、

C、

D、

答案D

解析选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化．选项B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化．选项C是秩为1的矩阵，因为｜λE—A｜=λ³一4λ²，可知矩阵的特征值是4，0，0．对于二重根λ=0，由秩r(0E—A)=r(A)=1可知齐次方程组(OE—A)x=0的基础解系有3一1=2个线性无关的解向量，即λ=0有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化．选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，一1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由秩

可知齐次方程组(E—A)x=0只有3—2=1个线性无关的解，亦即λ=1，只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选D．

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考研数学二

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