A,B,X均是3阶矩阵,其中问是否存在X,使得AX—A=BX,若存在,求所有的X,若不存在,说明理由.

admin2014-04-23  27

问题 A,B,X均是3阶矩阵,其中问是否存在X,使得AX—A=BX,若存在,求所有的X,若不存在,说明理由.

选项

答案由题设条件Ax—A=BX,得(A—B)X=A,(*)其中[*]因[*] 故A-B不可逆.(注意X≠(A-B)-1A)将X与A以列分块,设X=[ξ1,ξ2,ξ3],A=[α123],则(*)式为(A—B)[ξ1,ξ2,ξ3]=[α123],则由(*)式求X,即相当于解方程组(A—B)ξii,i=1,2,3. 将[A-B|α123]作初等行变换,求解ξ1,ξ2,ξ3. 因[*]则 (A—B)ξl=α1的通解为ξ1=k1(一3,1,5)T+(7,0,一9)T,(A—B)ξ22的通解为ξ2=k2(一3,1,5)T+(5,0,一3)T, (A—B)ξ33的通解为ξ3=k3(一3,1,5)T+(7,0,一7)T,故[*]其中k1,k2,k3是任意常数.

解析
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