f(x)在(一∞,+∞)上连续,且f(x)的最小值f(x0)<x0,证明:f[f(x)]至少在两点处取得最小值.

admin2018-08-22  48

问题 f(x)在(一∞,+∞)上连续,且f(x)的最小值f(x0)<x0,证明:f[f(x)]至少在两点处取得最小值.

选项

答案令F(x)=f(x)一x0,则F(x)在(一∞,+∞)上连续,且 [*] 由[*]知存在a<x0,使得F(a)>0;存在b>x0,使得F(b)>0,于是由零点定理知存在x1∈(a,x0),使得F(x1)=0;存在x2∈(x0,b),使得F(x2)=0,即有x1<x0<x2,使得f(x1)=x0=f(x2),从而得f[f(x1)]=f(x0)=f[f(x2)],即f[f(x)]至少在两点处取得最小值.

解析
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