设函数f(x)在[0，1]上非负连续，且f(0)=f(1)=0，证明对实数a(0＜a＜1)，必有ξ∈[0，1)使f(ξ+a)=f(ξ)．

admin2016-01-11 107

问题设函数f(x)在[0，1]上非负连续，且f(0)=f(1)=0，证明对实数a(0＜a＜1)，必有ξ∈[0，1)使f(ξ+a)=f(ξ)．

选项

答案令F(x)=f(x+a)-f(x)．因为f(x)在[0，1]上非负连续，f(x+a)应在[一a，1一a]上非负连续，于是F(x)在[0，1—a]上连续．由于 F(0)=f(a)-f(0)=f(a)≥0， F(1一a)=f(1)-f(1一a)=-f(1一a)≤0． (1)若F(0)=0，则ξ=0即为所求； (2)若F(1一a)=0，则ξ=1—a即为所求； (3)若F(0)≠0且F(1-a)≠0，则由零点定理，必存在ξ∈(0，1一a)[*](0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ+a)=f(ξ)．综上所述，存在ξ∈[0，1)，使f(ξ+a)=f(ξ)．

解析

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