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设函数f(x)在[0,1]上非负连续,且f(0)=f(1)=0,证明对实数a(0<a<1),必有ξ∈[0,1)使f(ξ+a)=f(ξ).
设函数f(x)在[0,1]上非负连续,且f(0)=f(1)=0,证明对实数a(0<a<1),必有ξ∈[0,1)使f(ξ+a)=f(ξ).
admin
2016-01-11
68
问题
设函数f(x)在[0,1]上非负连续,且f(0)=f(1)=0,证明对实数a(0<a<1),必有ξ∈[0,1)使f(ξ+a)=f(ξ).
选项
答案
令F(x)=f(x+a)-f(x).因为f(x)在[0,1]上非负连续,f(x+a)应在[一a,1一a]上非负连续,于是F(x)在[0,1—a]上连续. 由于 F(0)=f(a)-f(0)=f(a)≥0, F(1一a)=f(1)-f(1一a)=-f(1一a)≤0. (1)若F(0)=0,则ξ=0即为所求; (2)若F(1一a)=0, 则ξ=1—a即为所求; (3)若F(0)≠0且F(1-a)≠0,则由零点定理,必存在ξ∈(0,1一a)[*](0,1),使得F(ξ)=0,即f(ξ+a)=f(ξ). 综上所述,存在ξ∈[0,1),使f(ξ+a)=f(ξ).
解析
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考研数学二
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