2. 考研
  3. 设y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，试证： (1)对(-1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立； (2)

设y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，试证： (1)对(-1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立； (2)

admin2016-01-11  74
问题 设y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，试证：
(1)对(-1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立；
(2)
选项
答案 (1)对(一1，1)内任一x≠0，由拉格朗日中值定理知，[*](x)∈(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)． 因为f”(x)在(一1，1)内连续且f”(x)≠0，所以f”(x)在(一1，1)内不变号，即f’(x)单调，故θ(x)是唯一的． (2)再由泰勒公式知，存在介于0与x之间的ξ，使 [*]
解析
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考研数学二

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