设且f"(x)＞0，求证：f(x)≥x．

admin2020-05-02 18

问题设

且f"(x)＞0，求证：f(x)≥x．

选项

答案方法一由题设可知，f(x)二阶可导，因而连续，由[*]可得[*]因此 [*] 设F(x)=f(x)－x，则F(0)=f(0)－0=0，F′(x)=f′(x)－1，于是 F′(0)=f(0)－1=1－1=0 即x=0是函数F(x)的驻点．又F"(x)－f"(x)＞0，所以F′(x)单调递增，从而F(x)只有一个驻点x=0．由F"(0)=f"(0)＞0，知F(0)=0是可导函数F(x)的唯一极小值，从而是最小值，故F(x)≥F(0)，即f(x)－x≥0，于是有f(x)≥x．方法二可由方法一推得f(0)=0，f′(0)=1．再由泰勒中值定理以及f"(x)＞0，有 [*] 其中ξ介于0和x之间．

解析

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考研数学一

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