设且f"(x)>0,求证:f(x)≥x.

admin2020-05-02  19

问题且f"(x)>0,求证:f(x)≥x.

选项

答案方法一 由题设可知,f(x)二阶可导,因而连续,由[*]可得[*]因此 [*] 设F(x)=f(x)-x,则F(0)=f(0)-0=0,F′(x)=f′(x)-1,于是 F′(0)=f(0)-1=1-1=0 即x=0是函数F(x)的驻点.又F"(x)-f"(x)>0,所以F′(x)单调递增,从而F(x)只有一个驻点x=0.由F"(0)=f"(0)>0,知F(0)=0是可导函数F(x)的唯一极小值,从而是最小值,故F(x)≥F(0),即f(x)-x≥0,于是有f(x)≥x. 方法二 可由方法一推得f(0)=0,f′(0)=1.再由泰勒中值定理以及f"(x)>0,有 [*] 其中ξ介于0和x之间.

解析
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