2. 考研
  3. 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明： ∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明： ∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

admin2019-05-14  59
问题 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：
∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．
选项
答案因为f"(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)． 取x0=∫abxφ(z)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(z)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1， 于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)中，再由φ(x)≥0，得 f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)－x0φ(x)]， 上述不等式两边再在区间[口，6]上积分，得∫abf(z)φ(x)dx≥f[∫ab≥xφ(x)dx]．
解析
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考研数学一

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