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  3. 设0＜a＜b，证明：

设0＜a＜b，证明：

admin2019-11-25  61
问题 设0＜a＜b，证明：
选项
答案首先证明[*]． 因为[*](lnb－lna)－[*]＜0，所以令φ(x)＝lnx－lna－[*]， φ(a)＝0，φ’(x)＝[*]＜0(x＞a)， 由[*]φ(x)＜0(x＞a)，且b＞a，所以φ(b)＜0，即[*]． 再证[*]． 方法一 因为[*](b2＋a2)(lnb－lna)－2a(b－a)＞0， 所以令f(x)＝(x2＋a2)(lnx－lna)－2a(x－a)，f(a)＝0， f’(x)＝2a(lnx－lna)＋x＋[*]－2a＝2x(lnx－lna)＋[*]＞0(x＞a)． 由[*]fx)＞0(x＞a)，因为b＞a，所以f(b)＞f(a)＝0， 即[*]． 方法二 令f(x)＝lnx，则存在ξ∈(a，b)，使得[*]，其中0＜a＜ξ＜b， 则[*]，所以[*]．
解析
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考研数学三

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