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考研
设0<a<b,证明:
设0<a<b,证明:
admin
2019-11-25
65
问题
设0<a<b,证明:
选项
答案
首先证明[*]. 因为[*](lnb-lna)-[*]<0,所以令φ(x)=lnx-lna-[*], φ(a)=0,φ’(x)=[*]<0(x>a), 由[*]φ(x)<0(x>a),且b>a,所以φ(b)<0,即[*]. 再证[*]. 方法一 因为[*](b
2
+a
2
)(lnb-lna)-2a(b-a)>0, 所以令f(x)=(x
2
+a
2
)(lnx-lna)-2a(x-a),f(a)=0, f’(x)=2a(lnx-lna)+x+[*]-2a=2x(lnx-lna)+[*]>0(x>a). 由[*]fx)>0(x>a),因为b>a,所以f(b)>f(a)=0, 即[*]. 方法二 令f(x)=lnx,则存在ξ∈(a,b),使得[*],其中0<a<ξ<b, 则[*],所以[*].
解析
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考研数学三
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