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设函数f(x)在(0,+∞)内连续,f(1)=,且对一切的x、t∈(0,+∞)满足条件: ∫1xtf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du. 求函数f(x)的表达式.
设函数f(x)在(0,+∞)内连续,f(1)=,且对一切的x、t∈(0,+∞)满足条件: ∫1xtf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du. 求函数f(x)的表达式.
admin
2017-07-26
65
问题
设函数f(x)在(0,+∞)内连续,f(1)=
,且对一切的x、t∈(0,+∞)满足条件:
∫
1
xt
f(u)du=t∫
1
x
f(u)du+x∫
1
t
f(u)du.
求函数f(x)的表达式.
选项
答案
由已知条件可知,等式两边关于变量t是可导的.于是,对等式两边关于t求导,得 xf(xt)=∫
1
x
f(u)du+xf(t). 在上式中,若令t=1,得 xf(x)=∫
1
x
f(u)du+xf(1)=∫
1
x
f(u)du+[*]x. 显然,上式两边关于变量x也是可导的.于是,对等式两边关于x求导,得f(x)+xf’(x)=f(x)+[*].这是一个变量可分离的微分方程. 两边同时对变量x积分,有f(x)=[*](lnx+c),其中c为任意常数. 由f(1)=[*](lnx+1).
解析
本题主要考查如何将一个积分方程化为一个微分方程,并用相应的方法求解微分方程的特解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ifH4777K
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考研数学三
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