2. 考研
  3. 设函数f(x)在(0，+∞)内连续，f(1)=，且对一切的x、t∈(0，+∞)满足条件： ∫1xtf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du． 求函数f(x)的表达式．

设函数f(x)在(0，+∞)内连续，f(1)=，且对一切的x、t∈(0，+∞)满足条件： ∫1xtf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du． 求函数f(x)的表达式．

admin2017-07-26  48
问题 设函数f(x)在(0，+∞)内连续，f(1)=，且对一切的x、t∈(0，+∞)满足条件：
    ∫1xtf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du．
求函数f(x)的表达式．
选项
答案由已知条件可知，等式两边关于变量t是可导的．于是，对等式两边关于t求导，得 xf(xt)=∫1xf(u)du+xf(t)． 在上式中，若令t=1，得 xf(x)=∫1xf(u)du+xf(1)=∫1xf(u)du+[*]x． 显然，上式两边关于变量x也是可导的．于是，对等式两边关于x求导，得f(x)+xf’(x)=f(x)+[*]．这是一个变量可分离的微分方程． 两边同时对变量x积分，有f(x)=[*](lnx+c)，其中c为任意常数． 由f(1)=[*](lnx+1)．
解析 本题主要考查如何将一个积分方程化为一个微分方程，并用相应的方法求解微分方程的特解．
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考研数学三

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