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试求z=f(x,y)=x3+y3-3xy在矩形闭域D={(x,y)|0≤x≤2,-1≤y≤2}上的最大值、最小值.
试求z=f(x,y)=x3+y3-3xy在矩形闭域D={(x,y)|0≤x≤2,-1≤y≤2}上的最大值、最小值.
admin
2022-06-30
70
问题
试求z=f(x,y)=x
3
+y
3
-3xy在矩形闭域D={(x,y)|0≤x≤2,-1≤y≤2}上的最大值、最小值.
选项
答案
当(x,y)在区域D内时, [*] 在L
1
:y=-1(0≤x≤2)上,z=x
3
+3x-1, 因为z’=3x
2
+3>0,所以最小值为z(0)=-1,最大值为z(2)=13; 在L
2
:y=2(0≤x≤2)上,z=x
3
-6x+8, 由z’=3x
2
-6=0得x=[*],z(2)=4; 在L
3
:x=0(-1≤y≤2)上,z=y
3
, 由z’=3y
2
=0得y=0,z(-1)=-1,z(0)=0,z(2)=8; 在L
4
:x=2(-1≤y≤2)上,z=y
3
-6y+8, 由z’=3y
2
-6=0得y=[*],z(2)=4. 故z=x
3
+y
3
-3xy在D上的最小值为m=-1,最大值为M=13.
解析
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考研数学二
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