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设向量组α1,α2线性无关,向量β1可由α1,α2线性表出,而β2不能由α1,α2线性表出.证明:向量组α1,α2,β1,β2线性无关.
设向量组α1,α2线性无关,向量β1可由α1,α2线性表出,而β2不能由α1,α2线性表出.证明:向量组α1,α2,β1,β2线性无关.
admin
2018-08-22
7
问题
设向量组α
1
,α
2
线性无关,向量β
1
可由α
1
,α
2
线性表出,而β
2
不能由α
1
,α
2
线性表出.证明:向量组α
1
,α
2
,β
1
,β
2
线性无关.
选项
答案
设有常数k
1
,k
2
,k
3
,使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
(β
1
+β
2
)=0, (1) 已知β
1
可由α
1
,α
2
线性表出,令β
1
1=c
1
α
1
+c
2
α
2
,代入(1)式,有 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
(c
1
α
1
+c
2
α
2
+β
2
)=0,即 (k
1
+k
3
c
1
)α
1
+(k
2
+k
3
c
2
)α
2
k
3
β
2
=0,(2) 又已知β
2
不能由α
1
,α
2
线性表出,故k
3
=0, 此时(2)式化为k
1
α
1
+k
2
α
2
=0,而α
1
,α
2
线性无关,只能有k
1
=k
2
=0. 从而仅当k
1
=k
1
=k
3
=0时,(1)式才能成立, 因此向量组α
1
,α
2
,β
1
+β
2
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/iiyR777K
本试题收录于:
线性代数(经管类)题库公共课分类
0
线性代数(经管类)
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