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一个瓷质容器,内壁和外壁的形状分别为抛物线绕y轴的旋转面,容器的外高为10,比重为。把它铅直地浮在水中,再注入比重为3的溶液。问欲保持容器不沉没,注入液体的最大深度是多少?(长度单位为厘米)
一个瓷质容器,内壁和外壁的形状分别为抛物线绕y轴的旋转面,容器的外高为10,比重为。把它铅直地浮在水中,再注入比重为3的溶液。问欲保持容器不沉没,注入液体的最大深度是多少?(长度单位为厘米)
admin
2017-12-01
37
问题
一个瓷质容器,内壁和外壁的形状分别为抛物线
绕y轴的旋转面,容器的外高为10,比重为
。把它铅直地浮在水中,再注入比重为3的溶液。问欲保持容器不沉没,注入液体的最大深度是多少?(长度单位为厘米)
选项
答案
容器体积V=π∫
0
10
10ydy=500π, 容器的容积是由抛物线y=[*]+1(1≤y≤10)绕y轴旋转一周所得立体的体积,即 V
1
=π∫
1
10
10(y一1)dy=405π, 所以容器重量为[*]π。 设注入液体的最大深度为h,则注入液体的重量为3π∫
0
h+1
10(y一1)dy=15πh
2
。此时排开水的体积恰好是容器的体积500π,而水的比重为1,所以有[*]π+15πh
2
=500π,解得h=5。
解析
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考研数学二
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