2. 考研
  3. 设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增函数，且f(0)=1。对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式。

设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增函数，且f(0)=1。对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式。

admin2021-01-19  42
问题 设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增函数，且f(0)=1。对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式。
选项
答案旋转体的体积V=π∫0tf2(x)dx， 侧面积S=2π∫0tf(x)[*]dx， 由题设条件知 ∫0tf2(x)dx=∫0tf(x)[*]dx， 上式两端对t求导得f2(t)=f(t)[*] 即y’=[*] 由分离变量法解得ln(y+[*])=t+C1， 即y+[*]=Cet。 将y(0)=1代入得C=1，故 y+[*]=et，y=1／2(et+e－t)。 于是所求函数为 y=f(x)=1／2(ex+e－x)。
解析
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考研数学二

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