设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增函数，且f(0)=1。对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式。

admin2021-01-19 84

问题设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增函数，且f(0)=1。对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式。

选项

答案旋转体的体积V=π∫₀^tf²(x)dx，侧面积S=2π∫₀^tf(x)[*]dx，由题设条件知 ∫₀^tf²(x)dx=∫₀^tf(x)[*]dx，上式两端对t求导得f²(t)=f(t)[*] 即y’=[*] 由分离变量法解得ln(y+[*])=t+C₁，即y+[*]=Ce^t。将y(0)=1代入得C=1，故 y+[*]=e^t，y=1／2(e^t+e^－t)。于是所求函数为 y=f(x)=1／2(e^x+e^－x)。

解析

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考研数学二

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考研数学二

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