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η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明: η*,ξ1,…,ξn-r线性无关;
η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明: η*,ξ1,…,ξn-r线性无关;
admin
2019-07-22
95
问题
η
*
是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ
1
,…,ξ
n-r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明:
η
*
,ξ
1
,…,ξ
n-r
线性无关;
选项
答案
假设η
*
,ξ
1
,…,ξ
n-r
线性相关,则存在不全为零的数c
0
,c
1
,…,c
n-r
使得c
0
η
*
+c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
=0, (1) 用矩阵A左乘上式两边,得 0=A(c
0
η
*
+c
1
ξ
1
+…+c
0
Aη
*
)=c
0
Aη
*
+c
1
Aξ
1
+…+c
n-r
Aξ
n-r
=cb,其中b≠0,则c
0
=0,于是(1)式变为c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
=0,ξ
1
,…,ξ
n-r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故ξ
1
,…,ξ
n-r
线性无关,因此c
1
=c
2
=…=c
n-r
=0,与假设矛盾。所以η
*
,ξ
1
,…,ξ
n-r
线性无关。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1QN4777K
0
考研数学二
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