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  3. η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明： η*，ξ1，…，ξn-r线性无关；

η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明： η*，ξ1，…，ξn-r线性无关；

admin2019-07-22  75
问题 η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：
η*，ξ1，…，ξn-r线性无关；
选项
答案假设η*，ξ1，…，ξn-r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn-r使得c0η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0， (1) 用矩阵A左乘上式两边，得 0=A(c0η*+c1ξ1+…+c0Aη*)=c0Aη*+c1Aξ1+…+cn-rAξn-r=cb，其中b≠0，则c0=0，于是(1)式变为c1ξ1+…+cn-rξn-r=0，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，…，ξn-r线性无关，因此c1=c2=…=cn-r=0，与假设矛盾。所以η*，ξ1，…，ξn-r线性无关。
解析
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考研数学二

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