已知α1=(1,3,5,—1)T,α2=(2,7,a,4)T,α3=(5,17,—1,7)T, (Ⅰ)若α1,α2,α3线性相关,求a的值; (Ⅱ)当a=3时,求与α1,α2,α3都正交的非零向量α4; (Ⅲ)当a=3时,证明α1,

admin2023-01-03  29

问题 已知α1=(1,3,5,—1)T,α2=(2,7,a,4)T,α3=(5,17,—1,7)T
    (Ⅰ)若α1,α2,α3线性相关,求a的值;
    (Ⅱ)当a=3时,求与α1,α2,α3都正交的非零向量α4
    (Ⅲ)当a=3时,证明α1,α2,α3,α4可表示任一个4维列向量.

选项

答案(Ⅰ)α1,α2,α3线性相关[*]秩r(α1,α2,α3)<3.由于 [*] 所以a=一3. Ⅱ设α4=(x1,x2,x3,x4)T,则有(α1,α4)=0,(α2,α4)=0,(α3,α4)=0,即 [*] 所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解,即任一4维列向量必可由α1,α2,α3,α4线性表出. 或者由(Ⅰ)知a=3时,α1,α2,α3必线性无关,那么:若k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,用α4T左乘上式两端并利用α4Tα14Tα24Tα3=0,有k4α4Tα4=0,又α4α1≠0,故必有k4=0. 于是k1α1+k2α2+k3α3=0.由α1,α2,α3线性无关知必有k1=0,k2=0,k3=0,从而 α1,α2,α3,α4必线性无关,而5个4维列向量必线性相关,因此任一个4维列向量都可由α1,α2,α3,α4线性表出.

解析
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