2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可微，且f(x)dx=f(0)，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得 f’(ξ)=0．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可微，且f(x)dx=f(0)，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得 f’(ξ)=0．

admin2017-07-26  73
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可微，且f(x)dx=f(0)，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得
    f’(ξ)=0．
选项
答案因为f(x)在[0，1]上连续，由积分中值定理，存在点c∈[[*]，1]，使得 [*] 又f(x)在[0，c]连续，在(0，c)内可导，且f(0)=f(c)．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得f’(ξ)=0．
解析 待证结论含有导数，所以用洛尔定理证明．
    证明的关键是在[0，1]内构造辅助区间[0，c]，使得f(0)=f(c)．点c可由已知条件和积分中值定理得到．
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考研数学三

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