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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且f(x)dx=f(0),试证:存在点ξ∈(0,1),使得 f’(ξ)=0.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且f(x)dx=f(0),试证:存在点ξ∈(0,1),使得 f’(ξ)=0.
admin
2017-07-26
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问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且
f(x)dx=f(0),试证:存在点ξ∈(0,1),使得
f’(ξ)=0.
选项
答案
因为f(x)在[0,1]上连续,由积分中值定理,存在点c∈[[*],1],使得 [*] 又f(x)在[0,c]连续,在(0,c)内可导,且f(0)=f(c).由洛尔定理,存在点ξ∈(0,c)[*](0,1),使得f’(ξ)=0.
解析
待证结论含有导数,所以用洛尔定理证明.
证明的关键是在[0,1]内构造辅助区间[0,c],使得f(0)=f(c).点c可由已知条件和积分中值定理得到.
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考研数学三
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