设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中， ①若A可逆，则B可逆； ②若A+B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A+B可逆； ④A—E恒可逆．正确的有( )个．

admin2019-08-27 80

问题设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中，
①若A可逆，则B可逆； ②若A+B可逆，则B可逆；
③若B可逆，则A+B可逆； ④A—E恒可逆．
正确的有( )个．

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析【思路探索】命题①②③是借助行列式来判别，而④是利用定义来判别．
由于(A—E)B=AB—B=A+B—B=A，若A可逆，则B可逆，即①正确．
若A+B可逆，则｜AB｜=｜A+B｜≠0，则｜B｜≠0，即B可逆，②正确．
由于A(B—E)=B，｜A｜｜B一E｜=｜B｜，若B可逆，则｜A｜≠0，即A可逆，从而A+B=AB可逆，③正确．
对于④：由AB=A+B，可得(A—E)(B—E)=E，故A—E恒可逆．
故应选(D)．

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考研数学二

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