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  3. [2017年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+a32+2x1x2一8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY，下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

[2017年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+a32+2x1x2一8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY，下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

admin2019-07-23  103
问题 [2017年]  设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+a32+2x1x2一8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY，下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
选项
答案(1)[*]，令[*]，则f(x1，x2，x3)=XTAX． 由于标准形为λ1y12+λ2y22，可知矩阵A有零特征值，即λ3=0，故｜A｜=0，即｜A｜=[*]=一3(a一2)=0，解得a=2． (2)由｜λE—A｜=[*]=λ(λ+3)(λ一6)=0，得λ1=一3，λ2=6，λ3=0． 当λ1=一3时，一3E—A→[*]，得λ1=一3对应的线性无关的特征向量为α1=[*] 当λ2=6时，6E-A=[*]，得λ2=6对应的线性无关的特征向量α2=[*] 由0E—A→[*]，得λ3=0对应的线性无关的特征向量α3=[*] 规范化得[*] 故正交矩阵[*]
解析
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考研数学一

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