2. 考研
  3. 设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S． (1)求旋转曲面的方程； (2)求曲面S介于平面z=0与z=1之间的体积．

设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S． (1)求旋转曲面的方程； (2)求曲面S介于平面z=0与z=1之间的体积．

admin2016-10-13  51
问题 设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S．
  (1)求旋转曲面的方程；
  (2)求曲面S介于平面z=0与z=1之间的体积．
选项
答案(1)[*]． 对任意的M(x，y，z)∈S，过M垂直于z轴的截口为圆，其与直线AB及z轴的交点为 M0(x0，y0，z)，T(0，0，z)，由｜MT｜=｜M0T｜，得x2+y2=x02+y02， 因为M0在直线AB上，所以有[*]， 从而[*]代入x2+y2=x02+y02中得曲面方程为 S：x2+y2=(1一z)2+z2，即S：x2+y2=2z2一2z+1． (2)对任意的z∈[0，1]，垂直于z轴的截口圆面积为 A(z)=π(x2+y2)=π(2z2一2z+1) 于是V=∫01A(z)dz=[*]．
解析
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考研数学一

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