设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S． (1)求旋转曲面的方程； (2)求曲面S介于平面z=0与z=1之间的体积．

admin2016-10-13 37

问题设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S．
(1)求旋转曲面的方程；
(2)求曲面S介于平面z=0与z=1之间的体积．

选项

答案(1)[*]．对任意的M(x，y，z)∈S，过M垂直于z轴的截口为圆，其与直线AB及z轴的交点为 M₀(x₀，y₀，z)，T(0，0，z)，由｜MT｜=｜M₀T｜，得x²+y²=x₀²+y₀²，因为M₀在直线AB上，所以有[*]，从而[*]代入x²+y²=x₀²+y₀²中得曲面方程为 S：x²+y²=(1一z)²+z²，即S：x²+y²=2z²一2z+1． (2)对任意的z∈[0，1]，垂直于z轴的截口圆面积为 A(z)=π(x²+y²)=π(2z²一2z+1) 于是V=∫₀¹A(z)dz=[*]．

解析

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