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设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.求证: (1)存在ξ∈(a,b),使f(ξ)+ξfˊ(ξ)=0; (2)存在η∈(a,b),使nf(η)十fˊ(η)=0.
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.求证: (1)存在ξ∈(a,b),使f(ξ)+ξfˊ(ξ)=0; (2)存在η∈(a,b),使nf(η)十fˊ(η)=0.
admin
2016-09-13
46
问题
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.求证:
(1)存在ξ∈(a,b),使f(ξ)+ξfˊ(ξ)=0;
(2)存在η∈(a,b),使nf(η)十fˊ(η)=0.
选项
答案
(1)设φ(x)=xf(x),则φ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且φ(a)=φ(b)=0,由罗尔定理得,存在ξ∈(a,b),使φˊ(ξ)=0,即f(ξ)+ξfˊ(ξ)=0. (2)设F(x)=[*]f(x),则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理得,存在η∈(a,b),使Fˊ(η)=[*]η.f(η)=0,即nf(η)+fˊ(η)=0.
解析
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考研数学三
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