(02年)设D1是由抛物线y＝2χ2和直线χ＝a，χ＝2及y＝0所围成的平面区域；D2是由抛物线y＝2χ2和直线y＝0，χ＝a所围成的平面区域，其中0＜a＜2． (1)试求D1绕χ轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2；

admin2019-05-11 66

问题 (02年)设D₁是由抛物线y＝2χ²和直线χ＝a，χ＝2及y＝0所围成的平面区域；D₂是由抛物线y＝2χ²和直线y＝0，χ＝a所围成的平面区域，其中0＜a＜2．
(1)试求D₁绕χ轴旋转而成的旋转体体积V₁；D₂绕y轴旋转而成的旋转体体积V₂；
(2)问当a为何值时，V₁＋₂取得最大值?试求此最大值．

选项

答案(1)根据条件作图2．8，则 [*] V₁＝π∫_a²(2χ²)²dχ＝[*](32－a⁵) V₂＝πa².2a²－[*]＝2πa⁴－πa⁴＝πa⁴． (2)设V＝V₁＋V₂＝[*](32－a₅)＋πa₄ 由V′＝4πa³(1－a)＝0 得区间(0，2)内的唯一驻点a＝1．当0＜a＜1时，V′＞0；当a＞1时，V′＜0．因此a＝1是极大值点即最大值点．此时V₁＋V₂取得最大值，等于[*]．

解析

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考研数学三

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(02年)设D1是由抛物线y＝2χ2和直线χ＝a，χ＝2及y＝0所围成的平面区域；D2是由抛物线y＝2χ2和直线y＝0，χ＝a所围成的平面区域，其中0＜a＜2． (1)试求D1绕χ轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2；

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设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1＝α2＋α3，Aα2＝α1＋α3，Aα3＝α1＋α2．(1)求矩阵A的特征值；(2)判断矩阵A可否对角化．

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