设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)＝2． (1)证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt＋∫0－xf(t)dt＝x[f(θx)－f(－θx)]； (2)求．

admin2018-01-23 51

问题设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)＝2．
(1)证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫₀^xf(t)dt＋∫₀^－xf(t)dt＝x[f(θx)－f(－θx)]；
(2)求

．

选项

答案(1)令F(x)＝∫₀^xf(t)dt＋∫₀^－xf(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)＝0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)＝F(x)－F(0)＝F’(θx)x，即 ∫₀^xf(t)dt＋∫₀^－xf(t)dt＝x[f(θx)－f(－θx)]． (2)令[*]＝A，由∫₀^xf(t)dt＋∫₀^－xf(t)dt＝x[f(θx)－f(－θx)]，得 [*]

解析

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考研数学三

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