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设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,又此曲 线上的点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程,并求函数y(x)的极值.
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,又此曲 线上的点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程,并求函数y(x)的极值.
admin
2018-01-23
86
问题
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为
,又此曲
线上的点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程,并求函数y(x)的极值.
选项
答案
因为曲线是上凸的,所以y’’<0,由题设得 [*] 令y’=p,y’’=[*]=-(1+p
2
)[*]arctanp=C
1
-x. 因为曲线y=y(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,所以y=x+1,所以p|
x=0
=1,从而y’= tan([*]-x),积分得y=ln|cos([*]-x)|+C
2
. 因为曲线过点(0,1)所以C
2
=1+[*], 所求曲线为y=lncos[*]. 因为cos([*]-x)≤1,所以当x=[*]时函数取得极大值1+[*].
解析
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考研数学三
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