2. 考研
  3. (Ⅰ)设A=，其中s，n是正整数，证明ATA是实对称阵，并就正整数s，n的情况讨论矩阵ATA的正定性； (Ⅱ)B=，BTB是否正定?说明理由．

(Ⅰ)设A=，其中s，n是正整数，证明ATA是实对称阵，并就正整数s，n的情况讨论矩阵ATA的正定性； (Ⅱ)B=，BTB是否正定?说明理由．

admin2018-03-30  63
问题 (Ⅰ)设A=，其中s，n是正整数，证明ATA是实对称阵，并就正整数s，n的情况讨论矩阵ATA的正定性；
(Ⅱ)B=，BTB是否正定?说明理由．
选项
答案(Ⅰ)(ATA)T=AT(AT)T—ATA，则ATA是实对称矩阵． 当s＞n时，A的列向量组线性相关(向量个数s＞向量的维数n)，故Ax=0有非零解，即存在x≠0， 使得Ax=0，从而使xTATAx=0，故当s＞n时，ATA不是正定矩阵． 当s=n时，范德蒙德行列式｜A｜≠0，A是可逆矩阵，根据矩阵正定的充分必要条件，ATA是正定矩阵． 当s＜n时，A的列向量组线性无关(当s=n时，A的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)， Ax=0只有零解，即任给x≠0，均有Ax≠0，从而有(Ax)TAx=xTATAx＞0，从而ATA是正定矩阵． 故当s≤n时，ATA是正定矩阵． (Ⅱ)因(BTB)T=BT(BT)T=BTB，则BTB是实对称矩阵．又｜B｜=10!｜A｜＞0(其中A是(Ⅰ)中s=10，n=10的矩阵)，故BTB是正定矩阵．
解析
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考研数学三

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