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(Ⅰ)设A=，其中s，n是正整数，证明ATA是实对称阵，并就正整数s，n的情况讨论矩阵ATA的正定性； (Ⅱ)B=，BTB是否正定?说明理由．
(Ⅰ)设A=，其中s，n是正整数，证明ATA是实对称阵，并就正整数s，n的情况讨论矩阵ATA的正定性； (Ⅱ)B=，BTB是否正定?说明理由．
admin
2018-03-30
71
问题
(Ⅰ)设A=
，其中s，n是正整数，证明A
T
A是实对称阵，并就正整数s，n的情况讨论矩阵A
T
A的正定性；
(Ⅱ)B=
，B
T
B是否正定?说明理由．
选项
答案
(Ⅰ)(A
T
A)
T
=A
T
(A
T
)
T
—A
T
A，则A
T
A是实对称矩阵． 当s＞n时，A的列向量组线性相关(向量个数s＞向量的维数n)，故Ax=0有非零解，即存在x≠0， 使得Ax=0，从而使x
T
A
T
Ax=0，故当s＞n时，A
T
A不是正定矩阵． 当s=n时，范德蒙德行列式｜A｜≠0，A是可逆矩阵，根据矩阵正定的充分必要条件，A
T
A是正定矩阵． 当s＜n时，A的列向量组线性无关(当s=n时，A的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)， Ax=0只有零解，即任给x≠0，均有Ax≠0，从而有(Ax)
T
Ax=x
T
A
T
Ax＞0，从而A
T
A是正定矩阵． 故当s≤n时，A
T
A是正定矩阵． (Ⅱ)因(B
T
B)
T
=B
T
(B
T
)
T
=B
T
B，则B
T
B是实对称矩阵．又｜B｜=10!｜A｜＞0(其中A是(Ⅰ)中s=10，n=10的矩阵)，故B
T
B是正定矩阵．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gwX4777K
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考研数学三
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