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(Ⅰ)设A=,其中s,n是正整数,证明ATA是实对称阵,并就正整数s,n的情况讨论矩阵ATA的正定性; (Ⅱ)B=,BTB是否正定?说明理由.
(Ⅰ)设A=,其中s,n是正整数,证明ATA是实对称阵,并就正整数s,n的情况讨论矩阵ATA的正定性; (Ⅱ)B=,BTB是否正定?说明理由.
admin
2018-03-30
57
问题
(Ⅰ)设A=
,其中s,n是正整数,证明A
T
A是实对称阵,并就正整数s,n的情况讨论矩阵A
T
A的正定性;
(Ⅱ)B=
,B
T
B是否正定?说明理由.
选项
答案
(Ⅰ)(A
T
A)
T
=A
T
(A
T
)
T
—A
T
A,则A
T
A是实对称矩阵. 当s>n时,A的列向量组线性相关(向量个数s>向量的维数n),故Ax=0有非零解,即存在x≠0, 使得Ax=0,从而使x
T
A
T
Ax=0,故当s>n时,A
T
A不是正定矩阵. 当s=n时,范德蒙德行列式|A|≠0,A是可逆矩阵,根据矩阵正定的充分必要条件,A
T
A是正定矩阵. 当s<n时,A的列向量组线性无关(当s=n时,A的列向量组线性无关,减少向量个数仍线性无关), Ax=0只有零解,即任给x≠0,均有Ax≠0,从而有(Ax)
T
Ax=x
T
A
T
Ax>0,从而A
T
A是正定矩阵. 故当s≤n时,A
T
A是正定矩阵. (Ⅱ)因(B
T
B)
T
=B
T
(B
T
)
T
=B
T
B,则B
T
B是实对称矩阵.又|B|=10!|A|>0(其中A是(Ⅰ)中s=10,n=10的矩阵),故B
T
B是正定矩阵.
解析
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考研数学三
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