设向量组B：b1，…，br能由向量组A：α1，…，αs线性表示为(b1，…，br)=(α1，…，αs)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A组线性无关．证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

admin2016-05-31 46

问题设向量组B：b₁，…，b_r能由向量组A：α₁，…，α_s线性表示为(b₁，…，b_r)=(α₁，…，α_s)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A组线性无关．证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

选项

答案必要性：令B=(b₁，…，b_r)，A=(a₁，…，a_s)，则有B=AK，由定理 r(B)=r(AK)≤min{r(A)，r(K)}，结合向量组B：b₁，b₂，…，b_r线性无关知r(B)=r，故r(K)≥r．又因为K为r×s阶矩阵，则有r(K)≤min{r，s}．且由向量组B：b₁，b₂，…，b_r能由向量组A：a₁，a₂，…，a_s线性表示，则有r≤s，即min{r，s}=r．综上所述，r≤r(K)≤r，即r(K)=r．充分性：已知r(K)=r，向量组A线性无关，r(A)=s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使 [*] 于是有PB=PAK=[*]，由矩阵秩的性质 [*] 令即r(B)=r(K)=r，因此向量组B线性无关．

解析

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考研数学三

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设向量组B：b1，…，br能由向量组A：α1，…，αs线性表示为(b1，…，br)=(α1，…，αs)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A组线性无关．证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

考研数学三

革命统一战线的根本问题是()。

“人的思维是否具有真理性，这并不是一个理论的问题，而是一个实践的问题。人应该在实践中证明自己思维的真理性，即自己思维的现实性和力量，亦即自己思维的此岸性。”这一论断说明了()。

设A，B是同阶正定矩阵，则下列命题错误的是()．

已知二次型f(x1，x2，x3)的矩阵A有三个特征值1，-1，2，该二次型的规范形为________．

已知二次型f(x1，x2，x3，x4)=2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x3x4，则二次型f(x1，x2，x3，x4)的矩阵为_，二次型f(x1，x2，x3，x4)的秩为__．

若α1，α2，…，αs的秩为r，则下列结论正确的是()．

求由下列曲线所围成的闭区域D的面积：(1)D是由直线ax＋by＝r1，ax＋by＝r2，cx＋dy＝s1，cx＋dy＝s2所围成的平行四边形闭区域，其中r1＜r2，s1＜s2，ad－bc≠0；(2)D是由曲线xy＝4，xy3＝4，xy＝8，y3＝15所

若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5,则行列式丨B-1-E丨=__________.

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为_________．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求A及(A-3/2E)6，其中E为3阶单位矩阵．

总体很大，样本很小，总体无中间层次结构的样本，适于用()

1分子β-羟丁酸彻底氧化为CO2和H2O生成多少分子ATP

有小便失禁、舌咬破表现的是惊颤一点头一迎客式痉挛常为

男，42岁，6小时前头部外伤后当即意识丧失，20分钟后清醒，诉头痛，呕吐3次。1小时前患者再次出现昏迷，格拉斯哥7分，右侧瞳孔散大，对光反射消失，左侧肢体肌张力增高，膝腱、跟腱反射亢进。格拉斯哥昏迷评分项目包括

某市人民检察院在侦查赵某受贿案的过程中，除发现赵某利用职务之便收受他人贿赂外，还发现赵某涉嫌巨额财产来源不明罪和非法向外国人出售、赠送珍贵文物罪。请分析案例，回答以下问题:

在下列和弦转位中，哪个是大三和弦的转位?()

公民在战争期间下落不明的，从战争结束之日起满()，利害关系人可以向人民法院提出申请宣告其死亡。

设向量组B：b1，…，br能由向量组A：α1，…，αs线性表示为(b1，…，br)=(α1，…，αs)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A组线性无关．证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

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设A，B是同阶正定矩阵，则下列命题错误的是()．

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已知二次型f(x1，x2，x3，x4)=2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x3x4，则二次型f(x1，x2，x3，x4)的矩阵为_______，二次型f(x1，x2，x3，x4)的秩为________．

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求由下列曲线所围成的闭区域D的面积：(1)D是由直线ax＋by＝r1，ax＋by＝r2，cx＋dy＝s1，cx＋dy＝s2所围成的平行四边形闭区域，其中r1＜r2，s1＜s2，ad－bc≠0；(2)D是由曲线xy＝4，xy3＝4，xy＝8，y3＝15所

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某市人民检察院在侦查赵某受贿案的过程中，除发现赵某利用职务之便收受他人贿赂外，还发现赵某涉嫌巨额财产来源不明罪和非法向外国人出售、赠送珍贵文物罪。请分析案例，回答以下问题:

在下列和弦转位中，哪个是大三和弦的转位?()

公民在战争期间下落不明的，从战争结束之日起满()，利害关系人可以向人民法院提出申请宣告其死亡。

已知二次型f(x1，x2，x3，x4)=2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x3x4，则二次型f(x1，x2，x3，x4)的矩阵为_，二次型f(x1，x2，x3，x4)的秩为__．