设向量组B：b1，…，br能由向量组A：α1，…，αs线性表示为(b1，…，br)=(α1，…，αs)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A组线性无关．证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

admin2016-05-31 30

问题设向量组B：b₁，…，b_r能由向量组A：α₁，…，α_s线性表示为(b₁，…，b_r)=(α₁，…，α_s)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A组线性无关．证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

选项

答案必要性：令B=(b₁，…，b_r)，A=(a₁，…，a_s)，则有B=AK，由定理 r(B)=r(AK)≤min{r(A)，r(K)}，结合向量组B：b₁，b₂，…，b_r线性无关知r(B)=r，故r(K)≥r．又因为K为r×s阶矩阵，则有r(K)≤min{r，s}．且由向量组B：b₁，b₂，…，b_r能由向量组A：a₁，a₂，…，a_s线性表示，则有r≤s，即min{r，s}=r．综上所述，r≤r(K)≤r，即r(K)=r．充分性：已知r(K)=r，向量组A线性无关，r(A)=s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使 [*] 于是有PB=PAK=[*]，由矩阵秩的性质 [*] 令即r(B)=r(K)=r，因此向量组B线性无关．

解析

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考研数学三

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设向量组B：b1，…，br能由向量组A：α1，…，αs线性表示为(b1，…，br)=(α1，…，αs)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A组线性无关．证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

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