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设有Am×n,Bn×m,已知En-AB可逆,证明En-BA可逆,且(En-BA)-1=En+B(En-AB)-1A.
设有Am×n,Bn×m,已知En-AB可逆,证明En-BA可逆,且(En-BA)-1=En+B(En-AB)-1A.
admin
2020-01-12
88
问题
设有A
m×n
,B
n×m
,已知E
n
-AB可逆,证明E
n
-BA可逆,且(E
n
-BA)
-1
=E
n
+B(E
n
-AB)
-1
A.
选项
答案
(E
n
-BA)[E
n
+B(E
n
-AB)
-1
A] =E
n
-BA+B(E
n
-AB)
-1
A-BAB(E
n
-AB)
-1
A =E
n
-BA+(B—BAB)(E
n
-AB)
-1
A =E
n
BA+B(E
n
-AB)(E
n
-AB)
-1
A =E
n
-BA+BA=E
n
. 故E
n
-BA可逆,且(E
n
-BA)
-1
=E
n
+B(E
n
-AB)
-1
A
解析
只需证 [E
n
一BA][E
n
+B(E
n
一BA)
-1
A]=E.
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考研数学三
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