设有Am×n，Bn×m，已知En－AB可逆，证明En－BA可逆，且(En－BA)－1＝En＋B(En－AB)－1A．

admin2020-01-12 59

问题设有A_m×n，B_n×m，已知E_n－AB可逆，证明E_n－BA可逆，且(E_n－BA)^－1＝E_n＋B(E_n－AB)^－1A．

选项

答案(E_n－BA)[E_n＋B(E_n－AB)^－1A] ＝E_n－BA＋B(E_n－AB)^－1A－BAB(E_n－AB)^－1A ＝E_n－BA＋(B—BAB)(E_n－AB)^－1A ＝E_nBA＋B(E_n－AB)(E_n－AB)^－1A ＝E_n－BA＋BA＝E_n．故E_n－BA可逆，且(E_n－BA)^－1＝E_n＋B(E_n－AB)^－1A

解析只需证 [E_n一BA][E_n＋B(E_n一BA)^－1A]＝E．

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考研数学三

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