2. 考研
  3. 设f(χ)为连续正值函数，χ∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝{(χ，y)}0≤χ≤t，0≤y＜f(χ)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(χ)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(χ)．

设f(χ)为连续正值函数，χ∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝{(χ，y)}0≤χ≤t，0≤y＜f(χ)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(χ)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(χ)．

admin2019-07-22  54
问题 设f(χ)为连续正值函数，χ∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝{(χ，y)}0≤χ≤t，0≤y＜f(χ)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(χ)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(χ)．
选项
答案(Ⅰ)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为 [*]∫0tf2(χ)dχ／∫0tf(χ)dχ 而相应的曲边梯形的面积为∫0tf(χ)dχ．见图6．2．按题意 [*] 即∫0tf2(χ)dχ＝2[∫0tf(χ)dχ]2＋∫0tf(χ)dχ(χ≥0)． ① (Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则 方程①[*]f2(t)＝4f(t)∫0tf(χ)dχ＋f(t) [*]f(t)＝4∫f(χ)dχ＋1 ② (①中令χ＝0，等式自然成立，不必另加条件)． f(χ)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t＝0得 方程[*] (Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)＝e－∫4dt[*]e-4t得[f(t)e-4t]′＝0，并由初条件得f(t)＝e4t，即f(χ)＝e4χ．
解析
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考研数学二

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