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设f(χ)为连续正值函数,χ∈[0,+∞),若平面区域Rt={(χ,y)}0≤χ≤t,0≤y<f(χ)}(t>0)的形心纵坐标等于曲线y=f(χ)在[0,t]上对应的曲边梯形面积与之和,求f(χ).
设f(χ)为连续正值函数,χ∈[0,+∞),若平面区域Rt={(χ,y)}0≤χ≤t,0≤y<f(χ)}(t>0)的形心纵坐标等于曲线y=f(χ)在[0,t]上对应的曲边梯形面积与之和,求f(χ).
admin
2019-07-22
55
问题
设f(χ)为连续正值函数,χ∈[0,+∞),若平面区域R
t
={(χ,y)}0≤χ≤t,0≤y<f(χ)}(t>0)的形心纵坐标等于曲线y=f(χ)在[0,t]上对应的曲边梯形面积与
之和,求f(χ).
选项
答案
(Ⅰ)列方程.按平面图形的形心公式,形心的纵坐标为 [*]∫
0
t
f
2
(χ)dχ/∫
0
t
f(χ)dχ 而相应的曲边梯形的面积为∫
0
t
f(χ)dχ.见图6.2.按题意 [*] 即∫
0
t
f
2
(χ)dχ=2[∫
0
t
f(χ)dχ]
2
+∫
0
t
f(χ)dχ(χ≥0). ① (Ⅱ)转化.将方程①两边求导,则 方程①[*]f
2
(t)=4f(t)∫
0
t
f(χ)dχ+f(t) [*]f(t)=4∫f(χ)dχ+1 ② (①中令χ=0,等式自然成立,不必另加条件). f(χ)实质上是可导的,再将方程②两边求导,并在②中令t=0得 方程[*] (Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③.这是一阶线性齐次方程的初值问题,两边同乘μ(t)=e
-∫4dt
[*]e
-4t
得[f(t)e
-4t
]′=0,并由初条件得f(t)=e
4t
,即f(χ)=e
4χ
.
解析
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考研数学二
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