设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则( )．

admin2020-06-05 24

问题设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r₁，则( )．

选项 A、r﹥r₁
B、r﹤r₁
C、r＝r₁
D、r与r₁的关系依C而定

答案C

解析方法一
因为B＝AC—EAC，其中E为m阶单位矩阵，而E与C均可逆，由矩阵的等价定义可知，矩阵B与A等价从而R(B)＝R(A)．
方法二
因B＝AC，且C可逆，而可逆矩阵等于有限个初等矩阵的乘积，故用可逆矩阵c右乘矩阵A相当于对A实施有限次初等列变换，根据初等变换不改变矩阵的秩，可知R(AC)＝R(A)．因而(C)正确．

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