设α1，α2，…，αm为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βm=t1αm+t22α1，其中t1，t2为实常数，试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βm也为Ax=0的一个基础解系．

admin2018-07-27 25

问题设α₁，α₂，…，α_m为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β₁=t₁α₁+t₂α₂，β₂=t₁α₂+t₂α₃，…，β_m=t₁α_m+t₂2α₁，其中t₁，t₂为实常数，试问t₁，t₂满足什么关系时，β₁，β₂，…，β_m也为Ax=0的一个基础解系．

选项

答案由Ax=0的解的线性组合都是Ax=0的解，知β₁，…，β_m均为Ax=0的解．已知Ax=0的基础解系含m个向量，故β₁，β₂，…，β_m也为Ax=0的基础解系[*]β₁，β₂，…，β_m线性无关m阶行列式 [*] =t₁^m+(－1)^m+1t₂^m≠0，即所求关系式为t₁^m+(－1)^m+1t₂^m≠0，即当m为奇数时，t₁≠－t₂；当m为偶数时，t₁≠±t₂．

解析

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考研数学三

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设α1，α2，…，αm为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βm=t1αm+t22α1，其中t1，t2为实常数，试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βm也为Ax=0的一个基础解系．

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