2. 考研
  3. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f’+(a)f’-(b)＜0,证明：存在ξ∈（a,b),使得f’(ξ)=0.

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f’+(a)f’-(b)＜0,证明：存在ξ∈（a,b),使得f’(ξ)=0.

admin2021-11-25  20
问题 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f’+(a)f’-(b)＜0,证明：存在ξ∈（a,b),使得f’(ξ)=0.
选项
答案不妨设f’+(a)＞0，f’-(b)＜0，根据极限的保号性，由f’+(a)=[*] 则存在δ＞0（δ＜b－a),当0＜x－a＜δ时，[*],即f(x)＞f(a)，所以存在x1∈(a,b),使得f(x1)＞f(a). 同理由f’-(b)＜0，存在x2∈(a,b),使得f(x2)＞f(b). 因为f(x)在[a,b]上连续，且f(x1)＞f(a),f(x2)＜f(b),所以f(x)的最大值在（a,b)内取到，即存在ξ∈（a,b)使得f(ξ)为f(x)在[a,b]上的最大值，故f’(ξ)=0.
解析
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考研数学二

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