2. 考研
  3. 一条鲨鱼在发现血腥味时，总是向着血腥味最浓的方向追寻．在海面上进行试验表明：如果把坐标原点取在血源处，在海面上建立直角坐标系，那么点(x，y)处血液的浓度c(每百万份水中所含血的份数)可以近似地表示为求鲨鱼从点(x0，y0)出发向血液前进的路线．

一条鲨鱼在发现血腥味时，总是向着血腥味最浓的方向追寻．在海面上进行试验表明：如果把坐标原点取在血源处，在海面上建立直角坐标系，那么点(x，y)处血液的浓度c(每百万份水中所含血的份数)可以近似地表示为求鲨鱼从点(x0，y0)出发向血液前进的路线．

admin2017-05-31  275
问题 一条鲨鱼在发现血腥味时，总是向着血腥味最浓的方向追寻．在海面上进行试验表明：如果把坐标原点取在血源处，在海面上建立直角坐标系，那么点(x，y)处血液的浓度c(每百万份水中所含血的份数)可以近似地表示为求鲨鱼从点(x0，y0)出发向血液前进的路线．
选项
答案设鲨鱼的前进路线为L：y=f(x)． 首先，建立f(x)应满足的关系式． 由于鲨鱼追踪最强的血腥味，所以它每一瞬间都将按血液浓度增加最快、即按C的梯度方向前进[*]又由于鲨鱼前进的方向即L的切线方向，而切线方向向量又可以表为s={dx,dy}，于是，s的方向和梯度gradC的方向平行，即[*]从而y=f(x)应满足条件为[*]这是一个可分离变量得微分方程．解此微分方程，得鲨鱼的前进路线为[*]
解析 本题主要考查梯度与方向导数之间的关系，并由此建立相应的微分方程．
梯度的方向就是函数在某点处的方向导数的最大的方向，即梯度的方向=方向导数的最大方向．
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考研数学一

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