2. 考研
  3. 设A=． (1)若矩阵A正定，求a的取值范围． (2)若a是使A正定的正整数，求正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用坐标变换．

设A=． (1)若矩阵A正定，求a的取值范围． (2)若a是使A正定的正整数，求正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用坐标变换．

admin2017-07-26  55
问题 设A=．
    (1)若矩阵A正定，求a的取值范围．
    (2)若a是使A正定的正整数，求正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用坐标变换．
选项
答案(1)由A的特征多项式 ｜λE一A｜=[*]=(λ+a—2)2(λ—2a一2)， 得到矩阵A的特征值是λ1=λ2=2一a，λ3=2a+2． 那么A正定→[*]→a∈(—1，2)． (2)满足矩阵A正定的正整数a=1，那么 [*] 此时，矩阵A的特征值是λ1=λ2=1，λ3=4． 对于λ=1，由(E—A)x=0， [*] 得到属于λ=1的特征向量是α1=(一1，1，0)T，α2=(一1，0，1)T． 对于λ=4，由(4E—A)x=0， [*] 得到属于λ=4的特征向量α3=(1，1，1)T． 对α1，α2正交规范化处理，有 [*] 则经x=Py，有xTAx=yT[*]=y12+y22—4y32．
解析
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考研数学三

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