设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0 ,的解.

admin2017-05-31  75

问题 设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.
求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0 ,的解.

选项

答案微分方程①所对应的齐次微分方程y’’一y=0的通解为[*]其中C1,C2为任意常数. 微分方程①的特解为y*=Acosx+Bsinx,代入到微分方程①中,得A=0,[*]其中c1,c2为任意常数. 由条件y(0)=0,[*]得c1=1,c2=一1.因此,所求初值问题的解为[*]

解析 利用反函数的求导法则与复合函数的求导法则求出的表达式.代入原微分方程,即得所求的微分方程.然后再求此方程满足初始条件的微分方程.
利用反函数的求导法则与复合函数的求导法则变换微分方程的形式,这一思路在微分方程的求解过程中经常使用.
    (1)典型微分方程(诸如:齐次微分方程、线性微分方程、伯努利方程、高阶可降阶的微分方程及欧拉方程),有固定的解法.
    (2)非典型微分方程,通常结合微分方程的特定形式,选择适当的变量替换,化为典型的微分方程,常常是求解的一个非常有效的途径.
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