已知 (1)t取何值时,A为正定矩阵?为什么? (2)t取何值时,A与B等价?为什么? (3)t取何值时,A与C相似?为什么? (4)t取何值时,A与D合同?为什么?

admin2022-06-30  35

问题 已知
(1)t取何值时,A为正定矩阵?为什么?
(2)t取何值时,A与B等价?为什么?
(3)t取何值时,A与C相似?为什么?
(4)t取何值时,A与D合同?为什么?

选项

答案(1)由[*]得t>0,当t>0时,A的顺序主子式都大于零,所以A为正定矩阵. (2)由B=[*]得r(B)=2, 因为A与B等价,所以r(A)=r(B)=2<3,故t=0. (3)C的特征值为λ1=1,λ2=3,λ3=5, 由|λE-A|=[*]=(λ-1)(λ-3)(λ-t)=0得 A的特征值为λ1=1,λ2=3,λ3=t,故t=5. (4)由|λE-D|=[*]=0得 λ1=2>0,λ2=1+[*]>0,λ3=1-[*]<0, 矩阵A的特征值为λ1=1,λ23,λ3=t, 因为A与D合同,所以特征值中正、负个数一致,故t<0.

解析
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