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证明:方程xα=lnx(α<0)在(0,+∞)上有且仅有一个实根.
证明:方程xα=lnx(α<0)在(0,+∞)上有且仅有一个实根.
admin
2020-03-16
103
问题
证明:方程x
α
=lnx(α<0)在(0,+∞)上有且仅有一个实根.
选项
答案
令f(x)=lnx-x
α
(α>0),则f(x)在(0,+∞)上4连续,f(1)=-1<0,[*]故对任意M>0,存在X>1,当x>X时,有f(x)>M>0.任取x
0
>X,则f(1)f(x
0
)<0,根据零点定理知,存在ξ∈(1,x
0
),使得f(ξ)=0,即方程x
α
=lnx在(0,+∞)上至少有一实根. 又lnx在(0,+∞)上单调递增,因α<0,一x
α
也单调递增,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增,因此方程f(x)=0在(0,+∞)上只有一个实根,即方程x
α
=lnx在(0,+∞)上只有一个实根.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YdA4777K
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考研数学二
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