2. 考研
  3. 设η1，η2，η3为3个n维向量，已知n元齐次方程组AX＝0的每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，并且r(A)＝n－3，证明η1，η2，η3为AX＝0的一个基础解系．

设η1，η2，η3为3个n维向量，已知n元齐次方程组AX＝0的每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，并且r(A)＝n－3，证明η1，η2，η3为AX＝0的一个基础解系．

admin2020-03-16  75
问题 设η1，η2，η3为3个n维向量，已知n元齐次方程组AX＝0的每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，并且r(A)＝n－3，证明η1，η2，η3为AX＝0的一个基础解系．
选项
答案因为r(A)＝n－3，所以AX＝0的基础解系包含3个解．设γ1，γ2，γ3是AX＝0的一个基础解系，则条件说明γ1，γ2，γ3可以用η1，η2，η3线性表示．于是有下面的关于秩的关系式： 3＝r(γ1，γ2，γ3)≤r(η1，η2，η3；γ1，γ2，γ3)＝r(η1，η2，η3)≤3， 从而r(γ1，γ2，γ3)＝r(η1，η2，η3；γ1，γ2，γ3)＝r(η1，η2，η3)， 这说明η1，η2，η3和γ1，γ2，γ3等价，从而η1，η2，η3也都是AX＝0的解；又r(η1，η2，η3)＝3，即η1，η2，η3线性无关，因此是AX＝0的一个基础解系．
解析
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考研数学二

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