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  3. 设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0．

设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0．

admin2020-03-16  102
问题 设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0．
选项
答案设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而｜A｜=0， 于是A*b=A*AX=｜A｜X=0． 反之，设A*b=0，因为b≠0，所以方程组A*X=0有非零解，从而r(A*)＜n，又A11≠0，所以r(A*)=1，且r(A)=n-1． 因为r(A*)=1，所以方程组A*X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A*A=0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A*X=0的一组解向量． 由A11≠0．得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A*X=0的基础解系． 因为A*b=0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故r(A)=[*]=n-1＜n，即方程组AX=b有无穷多个解．
解析
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考研数学二

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