设A是n阶实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B，使得AB+BTA是正定阵．

admin2017-06-14 21

问题设A是n阶实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B，使得AB+B^TA是正定阵．

选项

答案必要性，A可逆，记A的逆矩阵为A^－1，取B=A^－1(要证存在n阶实矩阵B，应从已知条件中去找)，则有 AB+B^TA=AA^－1+(A^－1)^TA=AA^－1+(A^－1)^TA^T=2E， 2E是正定阵，故存在n阶实矩阵B=A^－1，使得AB+B^TA是正定阵．充分性．已知存在n阶实矩阵，使得AB+B^TA正定，由定义，对于任给的ξ≠0，有ξ^T(AB+B^TA)ξ=ξ^TABξ+ξ^TB^TAξ=(Aξ)^T(Bξ)+(Bξ)^TAξ＞0 则对于任给的ξ≠0，应有Aξ≠0，即AX=0唯一零解，故得证A是可逆阵．

解析

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