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设A是n阶实对称矩阵,证明:A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B,使得AB+BTA是正定阵.
设A是n阶实对称矩阵,证明:A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B,使得AB+BTA是正定阵.
admin
2017-06-14
54
问题
设A是n阶实对称矩阵,证明:A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B,使得AB+B
T
A是正定阵.
选项
答案
必要性,A可逆,记A的逆矩阵为A
-1
,取B=A
-1
(要证存在n阶实矩阵B,应从已知条件中去找),则有 AB+B
T
A=AA
-1
+(A
-1
)
T
A=AA
-1
+(A
-1
)
T
A
T
=2E, 2E是正定阵,故存在n阶实矩阵B=A
-1
,使得AB+B
T
A是正定阵. 充分性.已知存在n阶实矩阵,使得AB+B
T
A正定,由定义,对于任给的ξ≠0,有ξ
T
(AB+B
T
A)ξ=ξ
T
ABξ+ξ
T
B
T
Aξ=(Aξ)
T
(Bξ)+(Bξ)
T
Aξ>0 则对于任给的ξ≠0,应有Aξ≠0,即AX=0唯一零解, 故得证A是可逆阵.
解析
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考研数学一
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