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  3. 设A是n阶实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B，使得AB+BTA是正定阵．

设A是n阶实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B，使得AB+BTA是正定阵．

admin2017-06-14  54
问题 设A是n阶实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B，使得AB+BTA是正定阵．
选项
答案必要性，A可逆，记A的逆矩阵为A－1，取B=A－1(要证存在n阶实矩阵B，应从已知条件中去找)，则有 AB+BTA=AA－1+(A－1)TA=AA－1+(A－1)TAT=2E， 2E是正定阵，故存在n阶实矩阵B=A－1，使得AB+BTA是正定阵． 充分性．已知存在n阶实矩阵，使得AB+BTA正定，由定义，对于任给的ξ≠0，有ξT(AB+BTA)ξ=ξTABξ+ξTBTAξ=(Aξ)T(Bξ)+(Bξ)TAξ＞0 则对于任给的ξ≠0，应有Aξ≠0，即AX=0唯一零解， 故得证A是可逆阵．
解析
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考研数学一

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